Binomial Numbers

 

দ্বিপদী সংখ্যারাশি (Binomial Numbers)

দ্বিপদী সংখ্যা বলতে এমন একটি সংখ্যাকে বোঝায় যা দুটি পদ বা টার্ম নিয়ে গঠিত। সাধারণত, এটি $a + b$ আকারে লেখা হয় যেখানে $a$ এবং $b$ উভয়ই সংখ্যা বা চলক (variables) হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, $3 + 2$, $x + y$, বা $5 + 7$ সবই দ্বিপদী সংখ্যা।

দ্বিপদী বীজগণিতিক রাশি (Binomial Algebraic Expression)

দ্বিপদী বীজগণিতিক রাশি বলতে এমন একটি রাশিকে বোঝানো হয় যা দুটি বীজগণিতিক পদ নিয়ে গঠিত। এর একটি সাধারণ রূপ হলো $a + b$, যেখানে $a$ এবং $b$ দুটি বীজগণিতিক পদ। এটি যেকোনো সংখ্যা বা চলকের সমন্বয় হতে পারে।

উদাহরণ:

1. $3x + 4$: এখানে $3x$ এবং $4$ দুটি পদ।
2. $2a - 5b$: এখানে $2a$ এবং $-5b$ দুটি পদ।

দ্বিপদী রাশির গুণনীয়কীকরণ (Multiplication of Binomials)

দ্বিপদী রাশির গুণন করার সময়, FOIL পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। FOIL শব্দের অর্থ হলো:

• F: First terms (প্রথম পদ)
• O: Outer terms (বাহিরের পদ)
• I: Inner terms (ভিতরের পদ)
• L: Last terms (শেষ পদ)

যেমন, $(a + b)(c + d)$ গুণন করার সময়:

1. First terms: $a \cdot c$
2. Outer terms: $a \cdot d$
3. Inner terms: $b \cdot c$
4. Last terms: $b \cdot d$

এগুলো একত্রিত করে আমরা পাই: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

উদাহরণ:

যদি আমরা $(x + 2)(x + 3)$ গুণন করি:

1. First terms: $x \cdot x = x^2$
2. Outer terms: $x \cdot 3 = 3x$
3. Inner terms: $2 \cdot x = 2x$
4. Last terms: $2 \cdot 3 = 6$

এগুলো একত্রিত করে পাই: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

দ্বিপদী উপপাদ্য (Binomial Theorem)

দ্বিপদী উপপাদ্যটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বীজগণিতিক সূত্র, যা বলে যে $(a + b)^n$ রাশিটি বিস্তৃত করতে হলে আমরা দ্বিপদী গুণনীয়ক (Binomial Coefficients) ব্যবহার করতে পারি। এটি হলো:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

এখানে $\binom{n}{k}$ হলো দ্বিপদী গুণনীয়ক, যা $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ দ্বারা নির্ধারিত।

উদাহরণ:

যদি $(x + 1)^3$ বিস্তৃত করতে হয়: $(x + 1)^3 = \binom{3}{0} x^3 1^0 + \binom{3}{1} x^2 1^1 + \binom{3}{2} x^1 1^2 + \binom{3}{3} x^0 1^3$

এখানে: $\binom{3}{0} = 1, \binom{3}{1} = 3, \binom{3}{2} = 3, \binom{3}{3} = 1$

তাহলে: $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

এইভাবেই আমরা দ্বিপদী রাশি এবং তার বিস্তৃতির ধারণা পেতে পারি।